p z u s e l z

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A semana passada estive na FNAC do Colombo e qual não foi o meu espanto quando vejo à venda dezenas de exemplares de The Jigsaw Puzzle de Anne D. Williams. O livro, pelos vistos, não terá sido um grande sucesso de vendas naquela loja, na medida em que os mesmos estavam à venda por €5,95. Repito: cinco euros e noventa e cinco cêntimos, menos de metade do preço original. Comprei de imediato um exemplar e devorei-o no último fim-de-semana. Anne D. Williams é uma das maiores especialistas do mundo em puzzles. Para além de possuir uma colecção privada com mais de 8.000 puzzles acumulados nos últimos 25 anos, ela tem sido das autores mais prolíferas sobre a matéria, tendo já escrito meia-centena de artigos científicos sobre a história, o mercado e as técnicas de fabrico de puzzles. Este livro é assim uma espécie de corolário de trinta anos de amor e dedicação à causa. Que conheça, esta é a primeira obra de fôlego sobre a história do puzzle, fruto daquilo que apenas posso supor ter sido um tremendo trabalho de investigação. O subtítulo Piecing Together A History faz, de resto, jus à dimensão da obra. Anne D. Williams não se limita a inventariar os momentos mais marcantes da história do jogo, como consegue articulá-los com uma escrita simples e sedutora, que nos transporta para o universo por vezes maníaco-compulsivo das pessoas que jogam, coleccionam e criam puzzles. Neste livro, pude não apenas confirmar uma série de informações que tenho acumulado nos sítios mais duvidosos (Internet) e diversos (romances, revistas e artigos), como descobrir pormenores absolutamente fascinantes como o facto desta história com mais de 300 anos ser dominada por figuras femininas. A obra está ainda profusamente ilustrada e inclui uma secção com fotografias de meia centena de exemplares, criteriosamente escolhidos, referenciados e contextualizados. Até como simples objecto, The Jigsaw Puzzle vale bem o preço.


Há apenas um aspecto em que o livro me desiludiu um pouco, que é a ausência de reflexão teórica sobre a dimensão que mais me interessa nos puzzles: o recorte das peças. Ao lermos o livro, é por demais evidente que Anne D. Williams descloca o seu interesse para aspectos mais práticos ou periféricos desta arte: é o caso do inventário das diferentes técnicas de produção, da definição do mercado, do simbolismo e até de um muito interessante esboço de uma sociologia do puzzle (no fundo, sintomas de uma abordagem tipicamente norte-americana). Nos momentos em que se detém na análise do objecto em si, Anne D. Williams foca-se mais (o que é perfeitamente legítimo) nas imagens representadas pelos puzzles do que no tipo de corte das peças. Isso é particularmente visível nas páginas que dedica à sua noção muito peculiar de puzzle ideal: «Although I have assembled a few very difficult solid color puzzles, I did not enjoy them. I need the promise of an interesting and attractive picture at the end» (página 178).

Pela minha experiência, penso que se podem dividir os amadores de puzzles em três tipos. Em primeiro lugar, há os que, como a Anne D. Williams, privilegiam a qualidade estética da imagem que está a ser reconstruída. Tive um professor na Faculdade de Letras da Universidade do Porto que demorou anos para descobrir um puzzle de A Arte da Pintura de Vermeer. Quando o descobriu um belíssimo exemplar com 5000 peças, demorou meses a completá-lo, num ritual em que lhe dedicava pelo menos uma hora todos os dias. O que o movia era sobretudo a disciplina e a atenção inerentes à reconstrução do puzzle e que lhe forneceram um conhecimento minucioso da obra do pintor holandês. Em segundo lugar, há os que são mais sensíveis ao desenho formado pelo recorte das peças. Para esses, a imagem a ser reconstruída tem uma importância secundária: a fonte de prazer depende sobretudo do formato das peças e da forma como elas se encaixam. Finalmente, há os que vêem o puzzle com um processo comunicativo entre aquele que criou o puzzle e os que o jogam. Para esses, como diria Georges Perec em La Vie mode d’emploie, o puzzle não é, apesar das aparências, um jogo solitário: cada peça que um jogador pega nas mãos, examina, acarinha, cada combinação que ele testa e volta a testar, cada gesto, cada intuição, cada momento de euforia ou de desânimo, já foram previamente decididos, calculados e estudados por quem idealizou o puzzle.

Como faço parte do segundo tipo de jogadores, gostaria agora de voltar a falar um pouco sobre o fascínio que exerce em mim as possibilidades de recorte das peças de um puzzle. Para isso, preciso, em primeiro lugar, de recuar às origens. O livro de Anne D. Williams confirma (página 18) a informação constante na Wikipedia: terá sido John Spilsbury quem terá criado, em 1760, o primeiro puzzle. Este cartógrafo londrino teve a ideia de colar um planisfério sobre uma tábua de madeira e de recortar a mesma pelas linhas de fronteira dos países representados no mapa. O puzzle teve logo um sucesso imediato, tendo sido amplamente difundido e utilizado para fins pedagógicos nas escolas, no intuito de desenvolver, de uma forma lúdica, os conhecimentos geográficos das crianças inglesas. Os puzzles do séc. XVIII, e grande parte dos do século XIX, parecem assim ser uma resposta ao repto lançado por John Locke em Some Thoughts Concerning Education (1693) de que seria necessário promover a criação de brinquedos didácticos que conseguissem estimular as crianças e fazê-las aprender as matérias de uma forma lúdica. Os puzzles eram assim utensílios pedagógicos e tal era particularmente visível pela forma como as peças eram recortadas. Se a imagem de um puzzle consistia, por exemplo, numa pintura campestre com um cavalo, um camponês e uma casa, cada peça recortaria os contornos da cabeça do cavalo, do chapéu do camponês, do telhado da casa, e assim sucessivamente. Cada uma das peças correspondia a um elemento facilmente identificável da imagem a ser reconstruída, não sendo, por isso, necessário ter o puzzle completo para cada uma delas ser, só por si, inteligível.

No final do séc. XIX, George S. Parker (que ficaria famoso por ter inventado anos mais tarde o jogo do Monopólio) introduziu uma novidade admirável: o recorte geométrico e padronizado das peças que formam um puzzle. Anne D. Williams, no entanto, prefere destacar na sua obra outros aspectos, na minha opinião bem menos interessantes, do génio de Parker. É o caso da utilização de novos materiais na confecção dos produtos, a invenção de puzzles para adultos ou o facto de as peças começarem a ganhar um significado autónomo, na medida em que as suas formas, independentemente dos conteúdos, serem facilmente identificáveis com figuras como seres hurmanos, animais e objectos (páginas 57-61). Para mim, a grande invenção de Parker é bem mais subtil: pela primeira vez o recorte das peças deixa de estar subordinado às linhas da imagem recortada. Esse momento é crucial na medida em que passa haver dois níveis absolutamente distintos: o da imagem representada com linhas e cores próprias e o do desenho geométrico do corte que continua a ser visível depois do puzzle estar completo. Essa visibilidade, no entanto, não é um defeito: passa imediatamente a ser uma sobreposição constitutiva, distintiva e intrínseca à própria noção de puzzle. Não deixa de ser curioso já ter lido por diversas vezes vários jogadores lamentarem o facto dessas marcas não desaparecerem quando o puzzle está completo. E é também a ausência desse lamento que separa muitas vezes o segundo tipo de amadores de puzzles dos restantes.

Como já disse anteriormente, qualquer amador de puzzles do segundo tipo sente um fascínio por essa segunda dimensão geométrica: a do recorte das peças. Essa geometria de segundo grau, chamemos-lhe assim, é particularmente visível num hipotético puzzle branco que, depois de reconstruído, apenas exibe os contornos das peças. Para mim, e contrariamente a Anne D. Williams, a primeira dimensão, a da imagem recortada, apenas poderá ter interesse na forma como ela se articula com a segunda, dificultando ou iludindo as combinações possíveis para a sua reconstrução. E é essa tensão (que procurarei definir melhor mais à frente) que representa, para mim, um dos critérios mais importante para apurarmos a qualidade estrutural de um puzzle. Para os jogadores do terceiro tipo, essa tensão é igualmente um processo comunicativo.

Como é óbvio, existem imensos tipos (ou estilos) de recorte para as peças de um puzzle e aí os gostos variam. Já tentei uma vez definir, de forma insatisfatória, os princípios que norteiam a minha sensibilidade, o meu gosto. Movido pela leitura da obra de Anne D. Williams, vou tentar agora ser um pouco mais claro e preciso. Sejam eles quais forem, os estilos, para mim, têm sempre de ter em conta três princípios que, facto crucial, se revelam incompatíveis no seu estado absoluto:

1) Princípio pragmático, segundo o qual duas ou mais peças unidas têm de encaixar de forma a que a sua junção ofereça a maior resistência física a uma posterior separação das mesmas. O puzzle ideal, segundo este princípio, seria aquele que, depois de construído, permitiria um livre manuseamento da totalidade do puzzle sem este se desfazer. Na prática, este princípio implica que o encaixe de duas peças resulte sempre de um movimento perpendicular ao do plano em que o puzzle está a ser (re)construído.

2) Princípio geométrico, segundo o qual o recorte das peças tem de possuir uma certa relevância geométrica, isto é, o desenho geométrico resultante da divisão das peças deve concorrer esteticamente com a imagem que é representada. Acrescento ainda um detalhe importante: o recorte das peças não deverá corresponder a uma representação de seres e objectos. Durante muito tempo, pensei que um exemplo de puzzle ideal, segundo este princípio, seria a de um em que o recorte das peças correspondesse a uma imagem recursiva de Escher, na qual a diversidade (em teoria infinita) tipológica das figuras segue uma lei geométrica que permite a ocupação total do espaço repetindo o menor número possível de tipos de peças (todas as peças têm a mesma forma, mas o seu tamanho vai aumentando ou diminuindo à medida que nos afastamos do centro). No entanto, tal implica uma contaminação das características predominantemente figurativas da primeira dimensão de um puzzle (a imagem que o puzzle reconstruído representa) na segunda dimensão (o desenho formado pelo recorte das peças). Ora, para mim, a beleza de um puzzle passa também pelo facto das formas das peças oferecerem o máximo de resistência à sua identificação com um ser ou um objecto, o que manifestamente não acontece nas figuras recursivas de Escher, onde os elementos representam sempre (e aí é que está a piada) seres como lagartos, peixes, anjos, demónios, etc.

3) Princípio da dificuldade, segundo o qual o recorte das peças deve dificultar ao máximo a reconstrução do puzzle. O axioma deste princípio é, no fundo, o perfeito negativo do princípio geométrico: enquanto que neste último se procura diversificar ao máximo a tipologia das peças, no princípio da dificuldade passa-se exactamente o oposto: quanto menor for o número de tipos de peça, mais difícil será a reconstrução do puzzle, na medida em que aumenta o número de possibilidades combinatórias, isto é, o número de peças que são fisicamente compatíveis entre si e o embaraço da escolha. O puzzle ideal, segundo este princípio, seria um com apenas um tipo de peças, como, por exemplo, uma quadrícula, um conjunto de triângulos rectângulos isósceles ou de hexágonos (colmeia).

O meu problema consistiu sempre em encontrar um tipo de corte que seja capaz de satisfazer, de forma equilibrada, cada um desses três princípios, o que é fodido. Já vimos que o meu puzzle ideal do ponto de vista geométrico (número máximo de tipos de peças) seria péssimo segundo o princípio da dificuldade, no qual se pretende que esse número seja o menor possível. Mas o caso complica-se ainda mais quando nos apercebemos que um puzzle ideal ao nível da dificuldade, se revela quase sempre impraticável do ponto de vista pragmático: num hipotético puzzle em quadrículas, em triângulos rectângulos isósceles ou em colmeia, as peças apenas se encostam umas às outras, sem nenhuma possibilidade de encaixe.

puzexemp.jpg E é aqui que ressurge novamente, a admiração que nutro pelo génio de George S. Parker (ou de uma das suas anónimas funcionárias, na medida em que o livro de Anne D. Williams afirma que elas eram incentivadas pelo patrão a criarem os seus próprios modelos de corte). Um desses tipos de corte é em tudo semelhante ao da imagem que podem ver ao lado e consiste, basicamente, nas três arqui-figuras coloridas a preto, vermelho e azul (não tenho aqui em conta, como é óbvio, as peças que formam o contorno rectangular do puzzle). Não é por acaso que esse recorte é ainda hoje o mais utilizado nos puzzles. Ele é dos que conseguem cumprir de forma mais satisfatória e equilibrada as exigências impostas pelos três princípios: 1) as peças encaixam-se na perfeição; 2) o número de tipos de peças é apenas de 3; e, finalmente, 3) o desenho geométrico formado pelo recorte das peças é tão eloquente que até se transformou, nas últimas décadas, num autêntico ícone, utilizado por tudo quanto seja designer gráfico (é, de resto, este tipo de corte que é utilizado na capa do livro de Anne D. Williams, isto já para não falar no facto de hoje em dia qualquer software de desenho ter vários autoshapes que lhe são dedicados). Existe ainda uma variante específica desse tipo de recorte que apenas utiliza um tipo de peça e que ficou sobretudo famoso por ter sido utilizado no belo logotipo da Wikipedia. No entanto, prefiro a variante anterior por considerar (e aqui o critério é novamente subjectivo) que o padrão (bidimensional) produzido pela união das três peças é mais belo do que o com uma única peça. Outro pormenor fundamental: é possível traçar um eixo de simetria em todas as peças da primeiro tipo de corte, o que não acontece com a peça do tipo único.

Partindo da premissa que este corte específico de Parker é, pelas razões já enunciadas, o que melhor consegue cumprir de forma articulada os três princípios que enumerei como critérios para o corte das peças de um puzzle, se voltar agora a invocar o facto de ter considerado a tensão resultante entre a imagem recortada e o próprio recorte das peças o critério fundamental para apurar a qualidade estrutural de um puzzle, é óbvio que, para mim, a imagem mais sublime para ser recortada por um puzzle é a própria representação ligeiramente deslocada (senão o corte e a imagem seriam coincidentes) e ligeiramente ampliada (senão haveria um padrão regular em algumas peças) desse mesmo corte.

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No exemplo representado em cima, o recorte das peças está marcado a cinzento (a cor que mais se aproxima da sombra formada pela junção das peças) e o desenho a azul. Como é óbvio, essa representação é apenas aproximativa do que seria um puzzle desse tipo e não ignoro as fortes probabilidades do fascínio que sinto por essa sobreposição ser pessoal e intransmissível. Um dia, hei-de construir esse puzzle. Já sou, de resto, o legítimo proprietário de um puzzle branco de 1000 peças e apenas ainda não desenhei esse padrão, porque ando há mais de um ano a testar diversas cores e sinto que ainda não consegui obter o resultado desejado (para dizer a verdade, nem sequer tenho a certeza se fundo das peças deve ser mesmo branco). Por isso, se houver por aí voluntários que queiram testar diversas combinações de cores, terei todo o gosto em enviar o respectivo ficheiro Word por e-mail. Mas cuidado: não era eu que dizia no início do texto que o universo dos puzzles é por vezes maníaco-compulsivo? Keep that in mind.

33 thoughts on “p z u s e l z”

  1. junto-me ao coro de elogios.
    na minha família, em que os puzzles começaram por ser uma actividade das senhoras menos ocupadas, havia em casa do meu bisavô uma mesa grande onde estava sempre um puzzle diferentes num local de passagem. os elementos da família iam passando e encaixavam umas quantas peças, juntavam-se por vezes em volta, dispersavam por turnos. agora costumamos ter um puzzle em que todos participam, na casa dos meus pais, onde passamos férias. eis quando o puzzle se torna uma actividade familiar de silêncio.

  2. Primo: confesso que é mais maníaco que compulsivo. :)

    O livro da Anne D. Williams é particularmente interessante quando aborda essa dimensão social do puzzle, Susana. Ela aborda muito bem essa dimensão de partilha (entre jogadores) e de silêncio.

    La Tosca: touché.

  3. As copias das obras primas que se tem feito,,mesmo a Da Vince é um regalo para os olhos,mesmo que existe em três dimensôes,Um Canadiano vendeu o seu invento por três milhôes de dollars.Manet obras dele de Edgar Degas,Delacroix,le Caravage quase ao infinito!Onde as messas sâo pequenas para as ajuntar todas uma por uma

  4. AOS AMIGOS

    Amo devagar os amigos que são tristes com cinco dedos de cada lado.
    Os amigos que enlouquecem e estão sentados, fechando os olhos,
    com os livros atrás a arder para toda a eternidade.
    Não os chamo, e eles voltam-se profundamente
    dentro do fogo.
    -Temos um talento doloroso e obscuro.
    construímos um lugar de silêncio.
    De paixão.

    Herberto Helder

  5. Esperei chegar a casa para ler esta entrada com calma. Caro João Pedro, são textos como este que provam a pertinência da blogosfera e explicam em parte a crise por que estão a passar os jornais.

  6. conto-te uma historinha, uma vez estava em casa de uns amigos que tinham um puzzle colectivo, enooooorme, já não me lembro de quê. E o dono, contou-me que estava parado há dois meses porque ninguém conseguia encontrar uma pecinha para ali, e já tinham visto e revisto mais que uma vez.

    Eu achei graça e fiquei intrigado, mas olhei para aquele mar de peças e pensei: arranjam cada problema em casa, not me.

    música, alcóol, etc, e começou-me a subir um intriganço.

    Fui lá, e comecei a tentar, mas que puta de dor de cabeça, agora já me lembrei era um castelo feérico e estava tudo encravado por causa de uma pedrinha na muralha, lá tentei para aí umas dez e nada, já se sabe que ali não se pode dar jeitinhos, ou é ou não é.

    Mas eu estva mesmo na mão com uma que não era, a menos de um jeitinho, e então usei-a como modelo para pesquisar todas as outras.

    e pymba.

    E pensei: porra, esta coisa dos ‘modelos’ sempre serve para alguma coisa, se forem tangentes à coisa-em-si.

    E depois dediquei-me aos modelos matemáticos que eu gosto de coisas transportáveis.

    E depois também descobri que essa coisa do tangente só existe nos estruturalmente estáveis, porque nos caóticos derrapa logo.

    felizmente

  7. Que eu saiba nos puzzles, lá em casa, faltava sempre uma peça, ou duas, ou três. Era frustrante. Estaria no chão? O Dick teria decidido mastigá-la? Foi o aspirador que a engoliu? Estará por baixo do sofá? Ou o puzzle já terá vindo completamente viciado e teria que se fazer uma reclamação ao fabricante? Ai os puzzles…

  8. A julgar pela figura, a ampliação de que fala o texto é uma homotetia, e a deslocação é uma translação. Esses dois tipos de transformações do plano têm uma característica em comum: preservam as direcções – ou seja, mandam cada figura numa outra com os lados paralelos. Acontece que o emprego sucessivo de uma translação e de uma homotetia é redundante: o mesmo efeito é conseguido com uma única homotetia (com outro centro). Para procurar o novo centro, basta detectar o ponto do plano que fica fixo ao fim das duas transformações. Se olhar com atenção a sua figura, deve conseguir descobrir esse ponto (ou até vários pontos desses: como a figura se repete, podem ser várias as homotetias que têm sobre ela o mesmo efeito).

  9. Que belo comentário.

    A homotetia e a translação são redundantes, mas o puzzle não é infinito. Ou seja: deu-me algum trabalho, mas já consegui encontrar uma homotetia (a transladação é irrelevante, posso começá-la a partir de qualquer ponto não coincidente com o desenho do recorte das peças) cuja redundância não surja dentro do espaço delimitado pelas 1000 peças do puzzle branco (sensivelmente 30×30).

    Mas está muito bem visto, sim senhor. Este foi um dos primeiros problemas com que me deparei quando comecei a estudar a aplicação desse puzzle. Acho que irei inserir essas considerações no texto.

    Mas antes: percebeu a minha explicação? (nem sempre sou muito claro naquilo que digo)

  10. ui JP, ainda tenho que ir comer fora porque estive em êxtase de privação, gosto disso, e depois mamar um cozido à portuguesa ou coisa assim. Mas antes de ir, que é já a seguir, se bem me lembro, Y=a+bX, a chamada transformação afim, cobre tudo o que é conjugação de translacções e rotações (noutros contextos, nomeadamente probabilidades chama-khe transformação linear, mas essa é mais propriamente a designação de Y=bX) mas talvez o anónimo de cima possa corrigir ou acrescentar algo. Bazar, fica bem, depois logo eu volto

  11. engraçado estava escrever aquilo sem ter visto o teu comment. o teu b é uma mudança na origem; eu usei a notação contrária, é o meu a.

    mas olha é que o meu êxtase de privaçõ está a transformar-se em privação de êxtase e tenho que dar um jeitinho, ou talvez seja melhor dizer um jeitão :)

  12. Percebi o comentário, sim. Também me ocorreu a possibilidade de o novo centro não estar dentro da zona limitada pelas mil peças. Aí o problema complica-se, por causa do seguinte: se o centro estiver mesmo fora, então a imagem do puzzle pela transformação não pode cobri-lo por completo, pois a margem do puzzle mais próxima do centro afasta-se dele (deslocando-se no sentido do interior do rectângulo). Para cobrir o puzzle original com o puzzle transformado é forçoso, nesse caso, usar peças extra, que não fazem parte das mil iniciais. Mas, dada a periodicidade da figura, esse uso de peças extra acaba por não se notar, pois as novas peças repetem o padrão anterior. Na verdade, é como se tivesse colocado, sobre o rectângulo original, e de modo a cobri-lo por completo, uma cópia ampliada do mesmo rectângulo. Nesse caso é garantido que existe um ponto fixo. Por isso digo que há vários centros que podem produzir o mesmo efeito, e pelo menos um deles há-de estar nos limites da figura. Mas a detecção pode ser extraordinariamente difícil: nada obriga a que o centro esteja sobre as linhas de contorno das peças.

    P.S. Depois de ver os comentários, vejo que posso usar notação matemática, o que fica mais fácil. Na notação f(X)=aX+b, X representa um ponto do plano, e a > 1 é o factor de ampliação. Se o padrão tiver período P, então a nova transformação g(X)=a(X+P)+b, que tem um centro diferente, produz visualmente o mesmo efeito que f. No padrão do puzzle há, suponho eu, dois períodos independentes, um vertical e outro horizontal, e também todos os múltiplos e combinações desses períodos. Resultado: há uma infinidade de centros possíveis.

  13. (Não tinha lido seu último comentário, quando publiquei meu anterior).

    O «extremamente difícil de detectar» já me deixa bastante descansado. Quanto aos períodos, minha ideia era eles serem iguais, senão a reprodução do padrão sai destorcida, certo?

  14. Quanto aos períodos do padrão (que é como chamo ao puzzle infinito): eles têm de facto a mesma grandeza, mas quando digo “independentes” quero dizer “em direcções diferentes”. Na segunda figura do texto (com as peças a preto, vermelho e azul), dá para ver que, se deslocar o padrão na horizontal duas “casas” para a direita, ele vai coincidir consigo próprio. Ao vector associado a essa translação, representado por (2,0) num sistema de eixos apropriado, chamo um período do padrão. Há também um período vertical, dado pelo vector (0,2). E todas as combinações inteiras destes dois vectores, que são da forma (2m, 2n), com m e n inteiros, são também períodos do mesmo padrão. Se usou a transformação f(X) = aX+B para gerar a sua figura, obteria exactamente o mesmo resultado se tivesse usado g(X) = a(X+P)+B, onde P é qualquer um dos infinitos períodos do padrão. Há uma infinidade de escolhas para P, logo há uma infinidade de centros possíveis. Já agora, sempre lhe dou as fórmulas: o centro da homotetia f(X) = aX+B é C = -[1/(a-1)]B; os outros centros possíveis são dados por C+[a/(a-1)]P, onde P é um qualquer período do padrão. Quanto maior for o factor a, mais próximos estão esses centros uns dos outros; e, quanto mais perto a estiver de 1, mais afastados entre si estão eles.

    Que o factor a em aX+B seja racional ou irracional não faz diferença para a existência ou não de infinitos centros. Mas faz diferença para a existência ou não de períodos para o padrão sobreposto. Se a for racional (e na prática o computador só trabalha com números racionais), então o padrão conjunto admite algum período; se não for, não admite. Suponhamos por exemplo que a = 7/5; se P for um período do padrão original, então (7/5)P é um período do padrão ampliado, e 7P, que é um múltiplo comum dos dois períodos, é um período da figura composta. Nesse caso, (14,0) e (0,14) seriam períodos dessa figura composta, o que é coisa a evitar com 1000 peças ( = 40 * 25). O ideal é que o período da figura composta seja maior do que 40, o que garante que o puzzle resultante não tem duas peças iguais. Basta escolher a = m/n em que seja m > 20; por exemplo, a = 1,05.

    [NOTA. Para evitar confusões, resolvi desta vez usar maiúsculas X, P, B para representar pontos – i.e., objectos com duas coordenadas – e usar minúsculas para a, m e n, que representam números.]

  15. Bonito, pessoal! Mas quer dizer, além de as favas estarem boas, comprei o Cidade Proibida e aparece-me que pela estética da coisa que vou gostar, e além disso é fininho.

    Confesso que nem li bem o texto do gto do Norte, agora só amanhã.

    Ms nõ se diz trasladação que cheir a mortos, dantes era translacção.

  16. Paulo Araújo: fascinante. Muito obrigado pelas seus esclarecimentos, usarei a=1,05, portanto.

    E que tal agora se, em vez de uma hometetia, aplicar uma rotação ao segundo padrão em que ângulo seja inferior ao quociente de (pi/2) pelo n.º de peças do lado maior do puzzle? Nesse caso, já não haveria padrão pois não? :)

    Já agora, e sem querer abusar da sua sabedoria e paciência, gostaria de lhe pedir ajuda noutra questão.

    Vamos supor que as peças de um puzzle (feitas a partir de uma variante do modelo de Parker) correspondem a uma alteração de um quadrado em que existem saliências e reentrâncias onde encaixam as peças (a terminologia é péssima, eu sei, mas espero que esteja a perceber).

    E seja P(a, b) tal que: P seja uma determinada peça, «a» o n.º de saliências dessa peça e «b» o n.º de reentrâncias da mesma. Ou seja: a soma de a com b teria de ser menor que 5, na medida em que a peça tem apenas quatro lados para ter essas saliências ou reentrâncias (e só pode uma dessas em cada lado). Não contabilizo aqui as peças que formam o contorno rectangular do puzzle.

    Dessa forma, utilizando a primeira figura do texto, teremos:

    Peça Azul = PA(3, 1)
    Peça Vermellha = PV(1, 3)
    Peça Preta = PP(2, 2)

    No caso da peça única utilizada no logo da wikipedia teriamos P(2,2).

    Intuitivamente, parece-me que o somatório de «a» de todas as peças tem de ser sempre igual ao somatório de «b» de todas as peças, mesmo se tivermos aqui em conta as peças que formam o contorno rectangular.

    Isto está correcto?

  17. Bom dia! Quando eu disse em cima que não tinha lido o teu texto, devia ter dito que não tinha lido com toda a atenção.

    Já estou a ver que não tarda nada estamos na topologia.

    Na prática lá em cima querias faer uma transformação afim do original.

    Felizmente o Paulo veio orientar-te disciplinadamente que eu ando a esvoaçar. E deu uma coisa ao z do meu teclado, felizmente que o bicho novo chega hoje.

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